SAT
Mathematics level 1 – test (examples)
1. If and
, then
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(B)
2. If , what are possible values of
?
(A) only
(B) only
(C) only
(D) and
only
(E) and
(D)
3. If , for what value of
is
?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(C)
4. For which of the following equations is it true that the sum of the roots equals the product of the roots?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(C) .
5. What is the least integer value of such that
has no real roots?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(B)
Ciąg Fibonacciego
W 1202 roku Leonardo z Pizy, znany jako Fibonacci, opublikował Liber abbaci (,,Księga rachunków”).
Jedno z zadań zamieszczonych w tej księdze brzmi:
,,Ile par królików będziemy mieli na końcu roku, jeśli zaczniemy w styczniu z jedną parą królików, ta w każdym miesiącu, począwszy od marca, wyda na świat kolejną parę królików i z każdej pary urodzą się kolejne pary po dwóch miesiącach od narodzin?”
Rozwiązanie powyższego problemu, zostało przedstawione przez Fibonacciego w tabeli.

Dla uproszczenia kolejne miesiące zostały oznaczone: I, II, III, …
Natomiast oznacza
-te pokolenie.
Zauważmy, że w kolumnie suma każda liczba jest sumą dwóch poprzednich.
Liczby te tworzą tzw. ciąg Fibonacciego.
Niech oznacza
-ty wyraz ciągu Fibonacciego (
).
Zatem ciąg ten możemy zapisać ogólnie w następujący sposób:
W poprzednim wpisie dotyczącym Liczby złotej, wspomniałem o związku między liczbą tą, a ciągiem Fibonacciego.
Wypiszmy kilka kolejnych wyrazów ciągu , rozpoczynając od drugiego.
Podzielmy teraz kolejny wyraz ciągu przez poprzedni, tzn.
Przypominam, że liczba złota
Zauważmy, że
Zatem iloraz dowolnego wyrazu ciągu Fibonacciego przez wyraz go poprzedzający, jest pewnym przybliżeniem liczby złotej.
Liczba złota jest rozwiązaniem równania kwadratowego
czyli
lub
(1)
Pomnóżmy obustronnie równanie (1) przez
(2)
Po podstawieniu równania (1) do (2), otrzymujemy
Postępując analogicznie
Zatem związek pomiędzy naturalną potęgą liczby złotej, a ciągiem Fibonacciego możemy zapisać następująco
Powyższe równanie można udowodnić za pomocą indukcji matematycznej.
Liczby ciągu Fibonacciego pojawiają się także w świecie organizmów żywych np. u roślin. Wiele gatunków kwiatów ma liczbę płatków odpowiadającą liczbom z ciągu Fibonacciego:
- lilie – 3 płatki;
- jaskry – 5 płatków;
- ostróżki – 8;
- nagietki – 13;
- astry – 21;
- większość stokrotek – 34, 55 lub 89;
- słoneczniki – 55, 89 lub 144 płatki.
W przypadku innych kwiatów spotkać można podwojone liczby z ciągu Fibonacciego lub ich kwadraty.
Złota liczba
W VI księdze Elementów Euklidesa, znajduje się następujący tekst:
,,Powiemy, że linia prosta została podzielona harmonicznie, gdy większy odcinek ma się tak do mniejszego, jak całość do większego”.
Inaczej (krócej):
,,Całość ma się tak do większej części, jak większa do mniejszej”.
Wprowadźmy zatem następujące oznaczenia:
– większa część;
– mniejsza część.
Zauważmy zatem, że całość, to .
Ponadto .
Zapisując odpowiednie równanie, otrzymujemy
(1)
Przekształcając równoważnie możemy zapisać
Podstawiając , otrzymujemy
Zatem
Ponieważ , zatem jedynym rozwiązaniem powyższego równania jest
.
Liczba ta jest nazywana liczbą złotą i oznaczana przez . Natomiast równanie (1), zostało nazwane złotą proporcją lub boską proporcją.
Liczba złota jest ściśle związana z tzw. ciągiem Fibonacciego, który zostanie przedstawiony w kolejnym wpisie.
Winny czy niewinny?
Wprowadźmy następujące zdarzenia:
– oskarżony jest winny;
– oskarżony przyznał się do winy.
Ze wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe, otrzymujemy
(1)
oraz
(2)
oznacza prawdopodobieństwo, że oskarżony jest winny pod warunkiem, że oskarżony przyznał się do winy;
oznacza prawdopodobieństwo, że oskarżony przyznał się do winy pod warunkiem, że oskarżony jest winny;
oznacza prawdopodobieństwo, że oskarżony jest winny i oskarżony przyznał się do winy.
Równanie (1) oraz (2) zapiszmy w równoważnej postaci:
Przyrównując prawe strony powyższych równań otrzymujemy
czyli
(3)
Ponadto, z twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym wiemy, że
(4)
oznacza zdarzenie przeciwne do
, czyli oskarżony jest niewinny.
Podstawiając (4) do (3), otrzymujemy
co jest równoważne
Podstawiając , otrzymujemy ostatecznie
Dla uproszczenia przyjmijmy, że
;
,
(5)
Równanie (5) jest nazywane wzorem Matthewsa i zostało wprowadzone przez brytyjskiego fizyka Roberta Matthewsa. W 1995r. uczony ten zauważył, że w pewnych sytuacjach przyznanie się do winy oznacza raczej niewinność niż winę oskarżonego. Odkrycie to nazwał błędem przesłuchującego.
Współczynnik jest nazywany współczynnikiem przyznania się.
Zauważmy, że
tzn., że prawdopodobieństwo przyznania się osoby niewinnej jest mniejsze od prawdopodobieństwa przyznania się osoby winnej.
tzn., że prawdopodobieństwo przyznania się osoby niewinnej jest większe od prawdopodobieństwa przyznania się osoby winnej.
Pytanie: Czy przyznanie się do winy, zwiększa prawdopodobieństwo winy?
Jeśli tak, to
Podstawiając równanie (5), otrzymujemy
Przekształcając równoważnie
Zatem
Wniosek:
prawdopodobieństwo, że osoba winna przyznała się do zarzucanych czynów zwiększy prawdopodobieństwo winy
wtedy i tylko wtedy, gdy
prawdopodobieństwo przyznania się osoby niewinnej jest mniejsze od prawdopodobieństwa przyznania się osoby winnej.
Inspiracją do napisania powyższego tekstu był artykuł ,,Błąd przesłuchującego”, zamieszczony w książce ,,Krowy w labiryncie i inne eksploracje matematyczne” (wydawnictwo Prószyński i S-ka, 2012), autorstwa Iana Stewarta.
Dzieci, cz. 2
W artykule Dzieci rozważaliśmy rodzinę z dwojgiem dzieci.
Rozszerzmy wcześniejszy problem.
Przyjmijmy założenia, że urodzenie córki i syna jest jednakowo prawdopodobne oraz, że narodziny kolejnych dzieci są od siebie niezależne.
Oznaczenia: – dziewczynka,
– chłopiec.
Pewna rodzina ma troje dzieci, wśród nich są dwie dziewczynki. Jakie jest prawdopodobieństwo, że trzecie dziecko jest również dziewczynką?
W przypadku trojga dzieci, otrzymujemy cztery jednakowo prawdopodobne warianty: , a w jednym z nich trzy dziewczynki
.
Czyli poszukiwane prawdopodobieństwo wynosi .
…
Pewna rodzina ma (
) dzieci, wśród nich jest
dziewczynek. Jakie jest prawdopodobieństwo, że
-te dziecko jest również dziewczynką?
W przypadku dzieci, otrzymujemy
jednakowo prawdopodobnych wariantów:
,
, a w jednym z nich
-dziewczynek
.
Czyli poszukiwane prawdopodobieństwo wynosi dla
.
Dzieci
Pewna rodzina ma dwoje dzieci, a jedno z nich to dziewczynka.
Pytanie: jakie jest prawdopodobieństwo, że drugie dziecko jest dziewczynką?
Załóżmy, że urodzenie córki i syna jest jednakowo prawdopodobne. Ponadto, narodziny kolejnych dzieci są od siebie niezależne.
Wprowadźmy oznaczenia: – chłopiec,
– dziewczynka.
W przypadku dwojga dzieci otrzymujemy cztery jednakowo prawdopodobne warianty: .
Zauważmy, że w trzech przypadkach, w rodzinie jest dziewczynka: , a w jednym z nich dwie dziewczynki:
.
Czyli poszukiwane prawdopodobieństwo wynosi .
Powyższe pytanie można sformułować inaczej: jakie jest prawdopodobieństwo, że w pewnej rodzinie, w której jest dwoje dzieci, są dwie dziewczynki pod warunkiem, że wśród nich jest jedna dziewczynka?
W tej sytuacji wykorzystamy wzór na prawdopodobieństwo warunkowe:
-
– prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia
pod warunkiem, że zaszło zdarzenie
;
-
– prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia
i
.
Zatem zdarzenie oznacza, że w rodzinie są dwie dziewczynki, zdarzenie
, że w rodzinie jest co najmniej jedna dziewczynka.
należy odczytać jako prawdopodobieństwo tego, że w rodzinie tej są dwie dziewczynki, czyli
.

Ostatecznie