Szach-math

SAT

Mathematics level 1 – test (examples)

1. If x+y=5 and x-y=3, then x^{2}-y^{2}=

(A)  9

(B)  15

(C)  16

(D)  25

(E)  34

(B) x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y)=3\cdot 5=15.

2. If k^{2}-4=4-k^{2}, what are possible values of k?

(A) 0 only

(B) 2 only

(C) 4 only

(D) -2 and 2 only

(E) -2, 0 and 2

(D) 

    \begin{align*} k^{2}-4&=4-k^{2}\\ 2k^{2}&=8\\ k^{2}&=4\\ k&\in\{-2,2\} \end{align*}

3. If y=x^{3}-1.5, for what value of x is y=2?

(A) 0.79

(B) 1.14

(C) 1.52

(D) 1.87

(E) 6.50

(C) 

    \begin{align*} 2&=x^{3}-1.5\\ x^{3}&=3.5\\ x&=1.51829\ldots\\ x&=1.52 \end{align*}

4. For which of the following equations is it true that the sum of the roots equals the product of the roots?

(A) x^{2}-4=0

(B) x^{2}-2x+1=0

(C) x^{2}-4x+4=0

(D) x^{2}-5x+6=0

(E) x^{2}+4x+4=0

(C)  x_{1}+x_{2}=x_{1}x_{2}=4.

5. What is the least integer value of k such that x^{2}(3k+1)-6x+2=0 has no real roots?

(A)  5

(B)  2

(C)  1

(D)  -1

(E)  -2

(B)

    \begin{align*} \Delta<0\iff &36-8\cdot(3k+1)<0\\ &-24k<-28\\ &k>\frac{7}{6}\\ &k\in\{2\} \end{align*}

Ciąg Fibonacciego

W 1202 roku Leonardo z Pizy, znany jako Fibonacci, opublikował Liber abbaci  (,,Księga rachunków”).

Jedno z zadań zamieszczonych w tej księdze brzmi:

,,Ile par królików będziemy mieli na końcu roku, jeśli zaczniemy w styczniu z jedną parą królików, ta w każdym miesiącu, począwszy od marca, wyda na świat kolejną parę królików i z każdej pary urodzą się kolejne pary po dwóch miesiącach od narodzin?”

Rozwiązanie powyższego problemu, zostało przedstawione przez Fibonacciego w tabeli.

Rendered by QuickLaTeX.com

Dla uproszczenia kolejne miesiące zostały oznaczone: I, II, III, …
Natomiast p_{i},i=1,2,3,4,5,6 oznacza i-te pokolenie.

Zauważmy, że w kolumnie suma każda liczba jest sumą dwóch poprzednich.

Liczby te tworzą tzw. ciąg Fibonacciego.

Niech F_{n} oznacza n-ty wyraz ciągu Fibonacciego (n=1, 2, 3, \ldots).
Zatem ciąg ten możemy zapisać ogólnie w następujący sposób:

    \[\begin{cases} F_{1}=F_{2}=1\\ F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2},\quad n=3, 4, 5, \ldots \end{cases}\]

W poprzednim wpisie dotyczącym Liczby złotej, wspomniałem o  związku między liczbą tą, a ciągiem Fibonacciego.

Wypiszmy kilka kolejnych wyrazów ciągu (F_{n}), rozpoczynając od drugiego.

    \begin{align*} F_{2}&=1\\ F_{3}&=2\\ F_{4}&=3\\ F_{5}&=5\\ F_{6}&=8\\ F_{7}&=13\\ F_{8}&=21\\ &\ldots \end{align*}

Podzielmy teraz kolejny wyraz ciągu przez poprzedni, tzn.

    \begin{align*} \frac{F_{3}}{F_{2}}&=2\\ \frac{F_{4}}{F_{3}}&=1,5\\ \frac{F_{5}}{F_{4}}&=1,(6)\\ \frac{F_{6}}{F_{5}}&=1,6\\ \frac{F_{7}}{F_{6}}&=1,625\\ \frac{F_{8}}{F_{7}}&=1,615384615384615\\ &\ldots\\ \frac{F_{20}}{F_{19}}&=\frac{6765}{4181}=1,6180339631667067\\ &\ldots\\ \end{align*}

Przypominam, że liczba złota \phi=1,61803398874989484\ldots

Zauważmy, że 

    \[\phi-\frac{F_{20}}{F_{19}}=-0,000000025583188.\]

Zatem iloraz dowolnego wyrazu ciągu Fibonacciego przez wyraz go poprzedzający, jest pewnym przybliżeniem liczby złotej.

Liczba złota \phi jest rozwiązaniem równania kwadratowego

    \[x^{2}-x-1=0,\]

czyli

    \[\phi^2-\phi-1=0\]

lub

(1)   \[\phi^2=\phi+1.\]

Pomnóżmy obustronnie równanie (1) przez \phi

(2)   \[\phi^3=\phi^2+\phi\]

Po podstawieniu równania (1) do (2), otrzymujemy

    \[\phi^3=\phi^2+\phi=\phi+1+\phi=2\phi+1.\]

Postępując analogicznie

    \begin{align*} \phi^{4}&=\phi^{3}+\phi^{2}=2\phi+1+\phi+1=3\phi+2\\ \phi^{5}&=\phi^{4}+\phi^{3}=5\phi+3\\ \phi^{6}&=8\phi+5\\ \phi^{7}&=13\phi+8\\ &\ldots \end{align*}

Zatem związek pomiędzy naturalną potęgą liczby złotej, a ciągiem Fibonacciego (F_{n}) możemy zapisać następująco

    \[\phi^n=F_{n}\phi+F_{n-1},\quad n=2,3,4,\ldots\]

Powyższe równanie można udowodnić za pomocą indukcji matematycznej.

Liczby ciągu Fibonacciego pojawiają się także w świecie organizmów żywych np. u roślin. Wiele gatunków kwiatów ma liczbę płatków odpowiadającą liczbom z ciągu Fibonacciego:

  • lilie – 3 płatki;
  • jaskry – 5 płatków;
  • ostróżki – 8;
  • nagietki – 13;
  • astry – 21;
  • większość stokrotek – 34, 55 lub 89;
  • słoneczniki – 55, 89 lub 144 płatki.

W przypadku innych kwiatów spotkać można podwojone liczby z ciągu Fibonacciego lub ich kwadraty.

Złota liczba

W VI księdze Elementów Euklidesa, znajduje się następujący tekst:

,,Powiemy, że linia prosta została podzielona harmonicznie, gdy większy odcinek ma się tak do mniejszego, jak całość do większego”.

Inaczej (krócej):

,,Całość ma się tak do większej części, jak większa do mniejszej”. 

Wprowadźmy zatem następujące oznaczenia:

  • x – większa część;
  • y – mniejsza część.

Zauważmy zatem, że całość, to x+y.

Ponadto x>0, y>0.

Zapisując odpowiednie równanie, otrzymujemy

(1)   \[\frac{x+y}{x}=\frac{x}{y}.\]

Przekształcając równoważnie możemy zapisać

    \begin{align*} 1+\frac{y}{x}&=\frac{x}{y},\\ 1+\left(\frac{x}{y}\right)^{-1}&=\frac{x}{y}.\\ \end{align*}

Podstawiając k=\frac{x}{y}, otrzymujemy

    \[1+k^{-1}=k.\]

Zatem

    \begin{align*} 1+\frac{1}{k}&=k\\ k+1&=k^{2}\\ k^{2}-k-1&=0. \end{align*}

 

Ponieważ k>0, zatem jedynym rozwiązaniem powyższego równania jest \frac{1+\sqrt{5}}{2}.

    \[\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=1,61803398874989\ldots\]

Liczba ta jest nazywana liczbą złotą i oznaczana przez \phi.  Natomiast równanie (1), zostało nazwane złotą proporcją lub boską proporcją.

Liczba złota jest ściśle związana z tzw. ciągiem Fibonacciego, który zostanie przedstawiony w kolejnym wpisie.

 

Winny czy niewinny?

Wprowadźmy następujące zdarzenia:

  • A – oskarżony jest winny;
  • B – oskarżony przyznał się do winy.

Ze wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe, otrzymujemy

(1)   \[P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},\;P(B)>0\]

oraz

(2)   \[P(B|A)=\frac{P(B\cap A)}{P(A)}=\frac{P(A\cap B)}{P(A)},\;P(A)>0.\]

  • P(A|B) oznacza prawdopodobieństwo, że oskarżony jest winny pod warunkiem, że oskarżony przyznał się do winy;
  • P(B|A) oznacza prawdopodobieństwo, że oskarżony przyznał się do winy pod warunkiem, że oskarżony jest winny;
  • P(A\cap B) oznacza prawdopodobieństwo, że oskarżony jest winny i oskarżony przyznał się do winy.

Równanie (1) oraz (2) zapiszmy w równoważnej postaci:

    \begin{align*} P(A\cap B)&=P(B)P(A|B),\\ P(A\cap B)&=P(A)P(B|A). \end{align*}

Przyrównując prawe strony powyższych równań otrzymujemy

    \[P(B)P(A|B)=P(A)P(B|A),\]

czyli

(3)   \[P(A|B)=\frac{P(A)P(B|A)}{P(B)}.\]

Ponadto, z twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym wiemy, że

(4)   \[P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|A')P(A'),\]

  • A' oznacza zdarzenie przeciwne do A, czyli oskarżony jest niewinny.

Podstawiając (4) do (3), otrzymujemy

    \[P(A|B)=\frac{P(A)P(B|A)}{P(B|A)P(A)+P(B|A')P(A')},\]

co jest równoważne

    \[P(A|B)=\frac{P(A)}{P(A)+\frac{P(B|A')}{P(B|A)}P(A')}.\]

Podstawiając P(A')=1-P(A), otrzymujemy ostatecznie

    \[P(A|B)=\frac{P(A)}{P(A)+\frac{P(B|A')}{P(B|A)}(1-P(A))}.\]

Dla uproszczenia przyjmijmy, że

  • P(A)=p;
  • \frac{P(B|A')}{P(B|A)}=r,

(5)   \[P(A|B)=\frac{p}{p+r(1-p)}.\]

Równanie (5) jest nazywane wzorem Matthewsa i zostało wprowadzone przez brytyjskiego fizyka Roberta Matthewsa. W 1995r. uczony ten zauważył, że w pewnych sytuacjach przyznanie się do winy oznacza raczej niewinność niż winę oskarżonego. Odkrycie to nazwał błędem przesłuchującego.

Współczynnik r jest nazywany współczynnikiem przyznania się.

Zauważmy, że

    \[r<1\quad\iff\quad \frac{P(B|A')}{P(B|A)}<1\quad\iff\quad P(B|A')<P(B|A),\]

tzn., że prawdopodobieństwo przyznania się osoby niewinnej jest mniejsze od prawdopodobieństwa przyznania się osoby winnej.

    \[r>1\quad\iff\quad \frac{P(B|A')}{P(B|A)}>1\quad\iff\quad P(B|A')>P(B|A),\]

tzn., że prawdopodobieństwo przyznania się osoby niewinnej jest większe od prawdopodobieństwa przyznania się osoby winnej.

Pytanie: Czy przyznanie się do winy, zwiększa prawdopodobieństwo winy?

Jeśli tak, to

    \[P(A|B)>P(A).\]

Podstawiając równanie (5), otrzymujemy

    \[\frac{p}{p+r(1-p)}>p.\]

Przekształcając równoważnie

    \begin{align*} \frac{p}{p+r(1-p)}&>p\\ \frac{1}{p+r(1-p)}&>1\\ p+r(1-p)&<1\\ r(1-p)&<1-p\\ r&<1\\ P(B|A')&<P(B|A) \end{align*}

Zatem

    \[P(A|B)>P(A)\quad\iff\quad P(B|A')<P(B|A).\]

Wniosek:

prawdopodobieństwo, że osoba winna przyznała się do zarzucanych czynów zwiększy prawdopodobieństwo winy

wtedy i tylko wtedy, gdy

prawdopodobieństwo przyznania się osoby niewinnej jest mniejsze od prawdopodobieństwa przyznania się osoby winnej.

Inspiracją do napisania powyższego tekstu był artykuł ,,Błąd przesłuchującego”, zamieszczony w książce ,,Krowy w labiryncie i inne eksploracje matematyczne” (wydawnictwo Prószyński i S-ka, 2012), autorstwa Iana Stewarta.

Dzieci, cz. 2

W artykule Dzieci rozważaliśmy rodzinę z dwojgiem dzieci.

Rozszerzmy wcześniejszy problem.

Przyjmijmy założenia, że urodzenie córki i syna jest jednakowo prawdopodobne oraz, że narodziny kolejnych dzieci są od siebie niezależne.

Oznaczenia: D – dziewczynka, C – chłopiec.

Pewna rodzina ma troje dzieci, wśród nich są dwie dziewczynki. Jakie jest prawdopodobieństwo, że trzecie dziecko jest również dziewczynką?

W przypadku trojga dzieci, otrzymujemy cztery jednakowo prawdopodobne warianty: DDC, DCD, CDD, DDD, a w jednym z nich trzy dziewczynki DDD.

Czyli poszukiwane prawdopodobieństwo wynosi  \frac{1}{4}.

…

Pewna rodzina ma n (n\geq 2) dzieci, wśród nich jest n-1 dziewczynek. Jakie jest prawdopodobieństwo, że n-te dziecko jest również dziewczynką?

W przypadku n dzieci, otrzymujemy n+1 jednakowo prawdopodobnych wariantów: \underbrace{DDD\ldots DC}_{n-\text{dzieci}},\underbrace{DDD\ldots CD}_{n-\text{dzieci}},\ldots,\underbrace{DDC\ldots DD}_{n-\text{dzieci}},\underbrace{DCD\ldots DD}_{n-\text{dzieci}},\underbrace{CDD\ldots DD}_{n-\text{dzieci}}, \underbrace{DDD\ldots DD}_{n-\text{dzieci}}, a w jednym z nich n-dziewczynek \underbrace{DDD\ldots DD}_{n-\text{dzieci}}.

Czyli poszukiwane prawdopodobieństwo wynosi \frac{1}{n+1} dla n\geq 2.

Dzieci

Pewna rodzina ma dwoje dzieci, a jedno z nich to dziewczynka.

Pytanie: jakie jest prawdopodobieństwo, że drugie dziecko jest dziewczynką?

Załóżmy, że urodzenie córki i syna jest jednakowo prawdopodobne. Ponadto, narodziny kolejnych dzieci są od siebie niezależne.

Wprowadźmy oznaczenia: C – chłopiec, D – dziewczynka.

W przypadku dwojga dzieci otrzymujemy cztery jednakowo prawdopodobne warianty: DD, DC, CD, CC.

Zauważmy, że w trzech przypadkach, w rodzinie jest dziewczynka: DD, DC, CD, a w jednym z nich dwie dziewczynki: DD.

Czyli poszukiwane prawdopodobieństwo wynosi  \frac{1}{3}.

Powyższe pytanie można sformułować inaczej: jakie jest prawdopodobieństwo, że w pewnej rodzinie, w której jest dwoje dzieci, są dwie dziewczynki pod warunkiem, że wśród nich jest jedna dziewczynka?

W tej sytuacji wykorzystamy wzór na prawdopodobieństwo warunkowe:

    \[P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},\quad A,B\subset\Omega,\; P(B)>0.\]

  •   P(A|B) – prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A pod warunkiem, że zaszło zdarzenie B;
  •   P(A\cap B) – prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A i B.

Zatem zdarzenie A oznacza, że w rodzinie są dwie dziewczynki, zdarzenie B, że w rodzinie jest co najmniej jedna dziewczynka. P(A\cap B) należy odczytać jako prawdopodobieństwo tego, że w rodzinie tej są dwie dziewczynki, czyli  \frac{1}{4}.

P(B)=\frac{3}{4}.

Ostatecznie

    \[P(A|B)=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}}=\frac{1}{3}.\]