Szach-math

Szkolna Liga Zadaniowa – edycja 2

Konkurs przeznaczony jest dla uczniów II Liceum Ogólnokształcącego w Poznaniu.

I etap

W etapie tym uczniowie otrzymają dwa zestawy składające się z sześciu zadań.

Za każde zadanie można zdobyć:

  • 3pkt – za pełne rozwiąznie;
  • 2pkt – za rozwiązanie zawierające drobne usterki;
  • 1pkt – za połowę zadania.

Terminy dostarczania rozwiązań są następujące:

  • zestaw 1 – do 20 października 2017r.
  • zestaw 2 – do 10 listopada 2017r.

Rozwiązania należy przesłać na adres adrian@szachmath.pl lub osobiście dostarczyć do administratora bloga.

Wyniki będą publikowane na bieżąco na stronie szkoły.

Zestaw I

Zadanie 1

Wykaż, że liczba 333^{777}+777^{333} jest podzielna przez 10.

Zadanie 2

Rozłóż na czynniki wyrażenie

    \[a^{3}(b-c)+c^{3}(a-b)-b^{3}(a-c).\]

Zadanie 3

Wyznacz wszystkie pary (x,y), spełniające układ równań

    \[ \begin{cases} (x+y)(x^{2}+y^{2})&=65\\ (x-y)(x^{2}-y^{2})&=5. \end{cases} \]

 

Zestaw II

Zadanie 4

Wykaż, że

    \[1\cdot 2\cdot 3\cdot\ldots\cdot n\leq\left(\frac{n+1}{2}\right)^{n},\quad n=1,2,\ldots\]

Zadanie 5

W trapezie prostokątnym podstawy mają długości a i b (a>b), a wysokość h. Oblicz odległość punktu przecięcia przekątnych trapezu od dłuższej podstawy.

Zadanie 6

Obliczyć sumę k początkowych wyrazów ciągu (a_{n}), określonego rekurencyjnie

    \[a_{1}=\frac{1}{2}\quad,\quad a_{n}=\frac{1-a_{n-1}}{2}\quad,\quad n=2,3,\ldots.\]

 

Awans do 2. etapu uzyska najlepszych dziesięciu uczniów.

Ranking zostanie ustalony na podstawie punktów zdobytych za powyższe zadania.

W przypadku tej samej liczby punktów (dwóch lub większej ilości uczniów), o wyższym miejscu decydują następujące kryteria:

  1. większa liczba pełnych rozwiązań, tzn. większa liczba ,,3″;
  2. większa liczba ,,2″;
  3. wiek uczestnika, tzn. młodszy uczeń zostanie sklasyfikowany na wyższym miejscu.

II etap – półfinał

W etapie tym dziesięciu uczniów przez 45 minut będzie rozwiązywało 3 zadania  (punktacja jak w I etapie).

Pięciu uczniów z najlepszym wynikiem awansuje do finału.

W przypadku tej samej liczby punktów (dwóch lub większej ilości uczniów), o wyższym miejscu decydują następujące kryteria:

  1. większa liczba pełnych rozwiązań w półfinale, tzn. większa liczba ,,3″;
  2. większa liczba ,,2″ (w półfinale);
  3. wynik 1. etapu;
  4. wiek uczestnika, tzn. młodszy uczeń zostanie sklasyfikowany na wyższym miejscu.

Termin półfinału zostanie podany później.

III etap – finał

W finale, podobnie jak w poprzednim etapie, pięciu uczniów przez 45 minut będzie rozwiązywało 3 zadania (punktacja jak w I etapie).

Uczeń z największą liczbą zdobytych punktów zostanie zwycięzcą 1. edycji Szkolnej Ligi Zadaniowej II LO w Poznaniu. Dla finalistów przewidziane są nagrody rzeczowe.

W przypadku tej samej liczby punktów (dwóch lub większej ilości uczniów), o wyższym miejscu decydują następujące kryteria:

  1. większa liczba pełnych rozwiązań w finale, tzn. większa liczba ,,3″;
  2. większa liczba ,,2″ (w finale);
  3. wynik 2. etapu;
  4. wynik 1. etapu;
  5. wiek uczestnika, tzn. młodszy uczeń zostanie sklasyfikowany na wyższym miejscu.

Termin finału zostanie podany później.

 

Szkolna Liga Zadaniowa – finał

Zadanie 12

Wyznacz wszystkie pary (x,y) liczb rzeczywistych spełniające równanie

    \[x\sqrt{3}+y\sqrt{3}=3\sqrt{x^{2}+y^{2}}.\]

Zadanie 13

W okręgu o promieniu R poprowadzono dwie prostopadłe cięciwy AB i CD.

Wykaż, że

    \[AC^{2}+BD^{2}=4R^{2}.\]

Zadanie 14

Rozwiąż układ równań:

    \[\begin{cases} &x^{2}+y^{2}+z^{2}=xy+yz+zx\\ &xyz=8. \end{cases} \]

Zadanie 15

Niech f(x)=x(x+12)+30.

Rozwiązać równanie

    \[f(f(f(x)))=0.\]

Szkolna Liga Zadaniowa – półfinał

Zadanie 8

Rozwiąż równanie z niewiadomą x

    \[\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{x}=\frac{1}{a+b+x}.\]

Zadanie 9

Udowodnij, że jeżeli dwie środkowe trójkąta są równe, to trójkąt jest równoramienny.

Zadanie 10

Niech P(n) oznacza liczbę liczb pierwszych nie większych od liczby naturalnej n. Udowodnij, że jeżeli n\geq 8, to P(n)\leq\frac{n}{2}.

Zadanie 11

W ciągu Fibonacciego 1,1,2,3,5,8,13,21,\ldots wybrano osiem kolejnych wyrazów. Wykaż, że ich suma nie należy do ciągu.

 

Szkolna Liga Zadaniowa

Konkurs przeznaczony jest dla uczniów II Liceum Ogólnokształcącego w Poznaniu.

I etap

W etapie tym uczniowie otrzymają zestaw składający się z siedmiu zadań.

Za każde zadanie można zdobyć:

  • 3pkt – za pełne rozwiąznie;
  • 2pkt – za rozwiązanie zawierające drobne usterki;
  • 1pkt – za połowę zadania.

Terminy dostarczania rozwiązań są następujące:

  • zadanie 1 – do 30 września 2016r.
  • zadanie 2 – do 15 października 2016r.
  • zadanie 3 – do 30 października 2016r.
  • zadanie 4 – do 10 listopada 2016r.
  • zadanie 5 – do 20 listopada 2016r.
  • zadanie 6 – do 30 listopada 2016r.
  • zadanie 7 – do 10 grudnia 2016r.

Rozwiązania należy przesłać na adres adrian@szachmath.pl lub osobiście dostarczyć do administratora bloga.

Wyniki będą publikowane na bieżąco na stronie szkoły.

Zadanie 1

Która z liczb jest większa:

    \[3^{100}-2^{150}\quad\text{czy}\quad 3^{50}+2^{75}?\]

Odpowiedź uzasadnij.

Zadanie 2

Udowodnij, że

    \[\frac{k^{2}(k^{2}-3)+1}{k^{4}-k^{2}-2k-1},\]

dla k=3,4,5,\ldots jest ułamkiem właściwym.

Zadanie 3

Wykaż, że jeżeli \textrm{tg}^{2}\alpha jest liczbą wymierną, to \cos^{2}\alpha jest również liczbą wymierną.

Zadanie 4

Rozwiąż równanie dla x>0

    \[\frac{1}{x+\frac{1}{x^2+\frac{1}{x^{3}+\frac{1}{x^{4}}}}}=\frac{1}{1+\frac{1}{x^{3}+\frac{1}{x^{2}+\frac{1}{x^{5}}}}}-\frac{1}{x^{2}+\frac{1}{x+\frac{1}{x^{4}+\frac{1}{x^{3}}}}}.\]

Zadanie 5

Wyznacz wszystkie funkcje g:\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}\rightarrow\mathbb{R} spełniające równanie

    \[g\left(\frac{x-3}{x+1}\right)+g\left(\frac{3+x}{1-x}\right)=x.\]

Zadanie 6

Niech A będzie polem trójkąta równoramiennego, którego ramię ma długość a i kąt przy wierzchołku ma miarę 10^{\circ}. Udowodnij, że

    \[\left(\frac{4A}{a^{2}}\right)^{2}+\frac{a^{2}}{4A}=3.\]

Zadanie 7

Oblicz sumę

    \[1+2\cdot 3+3\cdot 7+\ldots+n\cdot(2^{n}-1),\quad n=1,2,3,\ldots\]

Awans do 2. etapu uzyska najlepszych dziesięciu uczniów.

Ranking zostanie ustalony na podstawie punktów zdobytych za powyższe zadania.

W przypadku tej samej liczby punktów (dwóch lub większej ilości uczniów), o wyższym miejscu decydują następujące kryteria:

  1. większa liczba pełnych rozwiązań, tzn. większa liczba ,,3″;
  2. większa liczba ,,2″;
  3. wiek uczestnika, tzn. młodszy uczeń zostanie sklasyfikowany na wyższym miejscu.

II etap – półfinał

W etapie tym dziesięciu uczniów przez 45 minut będzie rozwiązywało 4 zadania  (punktacja jak w I etapie).

Pięciu uczniów z najlepszym wynikiem awansuje do finału.

W przypadku tej samej liczby punktów (dwóch lub większej ilości uczniów), o wyższym miejscu decydują następujące kryteria:

  1. większa liczba pełnych rozwiązań w półfinale, tzn. większa liczba ,,3″;
  2. większa liczba ,,2″ (w półfinale);
  3. wynik 1. etapu;
  4. wiek uczestnika, tzn. młodszy uczeń zostanie sklasyfikowany na wyższym miejscu.

Termin półfinału zostanie podany później.

III etap – finał

W finale, podobnie jak w poprzednim etapie, pięciu uczniów przez 45 minut będzie rozwiązywało 4 zadania (punktacja jak w I etapie).

Uczeń z największą liczbą zdobytych punktów zostanie zwycięzcą 1. edycji Szkolnej Ligi Zadaniowej II LO w Poznaniu. Dla finalistów przewidziane są nagrody rzeczowe.

W przypadku tej samej liczby punktów (dwóch lub większej ilości uczniów), o wyższym miejscu decydują następujące kryteria:

  1. większa liczba pełnych rozwiązań w finale, tzn. większa liczba ,,3″;
  2. większa liczba ,,2″ (w finale);
  3. wynik 2. etapu;
  4. wynik 1. etapu;
  5. wiek uczestnika, tzn. młodszy uczeń zostanie sklasyfikowany na wyższym miejscu.

Termin finału zostanie podany później.