Szach-math

4. Funkcje

Zadanie 4.1

Wyznacz f(a)-f(\frac{1}{a}),a\neq 0, jeśli f(x)=x+\frac{1}{x},x\neq 0.

Zadanie 4.2

Dana jest funkcja f(x)=x^{2}+2x-3. Dla jakich t zachodzi równość

    \[f(t-1)=f(t+3)?\]

Zadanie 4.3

Wykaż, że funkcja f(x)=4^{x}-2^{x+2}+4 nie przyjmuje wartości ujemnych.

Zadanie 4.4

Wyznacz dziedzinę i miejsca zerowe funkcji f(x)=\frac{x^{2}(x^{4}-625)}{x+5}.

Zadanie 4.5

Określ monotoniczność funkcji f(x)=(2\sqrt{2}-t\sqrt{3})x+5, dla t=\sqrt{3}+4.

Zadanie 4.6

Wyznacz wartość a, dla której miejscem zerowym funkcji

    \[f(x)=\frac{\frac{a}{2}-3}{5}x+\frac{3}{4}\]

jest liczba 3.

Zadanie 4.7

Naszkicuj wykres funkcji

    \[f(x)=\begin{cases} 2-x,\; x\in(-\infty,-1\rangle\\ \quad|x|,\quad x\in(-1,1)\\ \frac{1}{2}x+\frac{1}{2},\;x\in\langle 1,+\infty) \end{cases}\]

oraz g(x)=|f(x)|.

Zadanie 4.8

Oblicz wartość najmniejszą i wartość największą funkcji f(x)=3(x-3)(2x-1) w przedziale \langle 0,3 \rangle.

Zadanie 4.9

Dana jest funkcja f(x)=\frac{4}{x}. Wykaż, że 2f(2-\sqrt{2})+f\left(\frac{1}{2-\sqrt{2}}\right)-16=0.

Zadanie 4.10

Wyznacz miejsca zerowe funkcji

    \[f(x)=(3-x)(x-1)(5-2x)\sqrt{2-|x|}.\]

 

3. Równania i nierówności

Zadanie 3.1

Rozwiąż równanie

    \[(x-\sqrt{2})(5x+5\sqrt{2})=5(x-3)^{2}+30x.\]

Zadanie 3.2

Wyznacz wszystkie liczby pierwsze spełniające nierówność

    \[(x-2)^{2}\leq 15x-30.\]

Zadanie 3.3

Udowodnij, że nierówność

    \[x^{4}+x^{8}(x-1)^{4}+x^{12}(x+1)^{4}\geq -1\]

jest spełniona dla wszystkich liczb rzeczywistych x.

Zadanie 3.4

Wykaż, że liczba 5^{35} jest jedynym rozwiązaniem równania

    \[129x+3125^{7}=25^{19}+5^{36}.\]

Rozwiązanie:

Przekształcając równoważnie powyższe równanie, otrzymujemy:

    \begin{align*} 129x+(5^{5})^{7}&=(5^{2})^{19}+5^{36}\\ 129x+5^{35}&=5^{38}+5^{36}\\ 129x&=5^{38}+5^{36}-5^{35}\\ 129x&=5^{35}(5^{3}+5-1)\\ 129x&=5^{35}(125+4)\\ 129x&=129\cdot 5^{35}\\ x&=5^{35}\\ \end{align*}

Co kończy dowód.

Zadanie 3.5

Wyznacz zbiór rozwiązań nierówności

    \[(|x|+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})<1+\sqrt{5}.\]

Zadanie 3.6

Rozwiąż równanie z niewiadomą x

    \[\frac{1}{a+1}+\frac{1}{x+1}=\frac{1}{a}+1.\]

Zadanie 3.7

Sprawdź, czy liczba 4 jest rozwiązaniem równania

    \[x^{\log_{2}x}+16x^{-\log_{2}x}-17=0.\]

Rozwiązanie:

Dla x=4, otrzymujemy

    \begin{align*} 4^{\log_{2}4}+16\cdot 4^{-\log_{2}4}-17&=4^{2}+16\cdot 4^{-2}-17=16+4^{2}\cdot 4^{-2}-17=0. \end{align*}

Zatem x=4 jest rozwiązaniem powyższego równania.

Zadanie 3.8

Wyznacz \alpha z równania

    \[(\alpha+\beta)\gamma+(\beta+\gamma)\alpha=\alpha\beta\gamma.\]

Zadanie 3.9

Rozwiąż równanie

    \[(x^{3}-x^{2})(x^{4}-16)^{2}(x^{2}+4)^{4}=0.\]

Zadanie 3.10

Wyznacz k, jeśli liczba \sqrt{2} jest rozwiązaniem równania

    \[(2k-1)x^{4}-kx^{2}=1-kx.\]

2. Wyrażenia algebraiczne

Zadanie 2.1

Przedstaw wyrażenie w najprostszej postaci

    \[\left(\frac{x-1}{x^{2}}\right)^{-1}+(1-x)^{-1}.\]

Zadanie 2.2

Udowodnij, że jeżeli a^{2}+3=\frac{1}{2}(a+\sqrt{3})^{2}, to a=\sqrt{3}.

Rozwiązanie:

Przekształcając równoważnie równanie z założenia, otrzymujemy:

    \begin{align*} 2a^{2}+6&=(a+\sqrt{3})^{2}\\ 2a^{2}+6&=a^{2}+2a\sqrt{3}+3\\ a^{2}-2a\sqrt{3}+3&=0\\ (a-\sqrt{3})^{2}&=0\\ a&=\sqrt{3}. \end{align*}

Co kończy dowód.

Zadanie 2.3

Uprość wyrażenie

    \[\frac{\frac{m+n}{\sqrt{m}-\sqrt{n}}-\frac{m-n}{\sqrt{m}+\sqrt{n}}}{\frac{\sqrt{m}-\sqrt{n}}{m+n}+\frac{\sqrt{m}+\sqrt{n}}{m-n}}.\]

Zadanie 2.4

Wykaż, że dla x>0, y>0, zachodzi nierówność

    \[\frac{x+y}{2}\geq\sqrt{xy}.\]

Zadanie 2.5

Wyznacz wartość ułamka \frac{x+y}{x-y}, jeśli x^{2}+y^{2}=\frac{5}{2}xy oraz y>x>0.

Zadanie 2.6

Zapisz wyrażenie w najprostszej postaci oraz oblicz jego wartość dla z=\sqrt{3}

    \[(z+\sqrt{3})^{4}-(z-\sqrt{3})^{4}.\]

Zadanie 2.7

Wykaż, że jeżeli x>0, to

    \[\frac{x^{2}+1}{x+1}\geq\frac{x+1}{2}.\]

Zadanie 2.8

Uprość wyrażenie

    \[\frac{1}{\sqrt{x^{2}+4x+4}}+x-2.\]

Zadanie 2.9

Wykaż, że jeżeli k>0, l>0, to

    \[k^{3}+\frac{l^{2}}{k^{3}}\geq 2l.\]

Rozwiązanie:

Przekształcając równoważnie powyższą nierówność, otrzymujemy

    \begin{align*} k^{6}+l^{2}&\geq 2k^{3}l\\ k^{6}-2k^{3}l+l^{2}&\geq 0\\ (k^{3}-l)^{2}&\geq 0. \end{align*}

Co kończy dowód (,,kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny”).

Zadanie 2.10

Uzasadnij, że jeśli liczby rzeczywiste \alpha, \beta, \gamma spełniają nierówność 0<\alpha<\beta<\gamma, to

    \[\alpha+\beta+\gamma>\frac{3}{2}(\alpha+\beta).\]

1. Liczby rzeczywiste

Zadanie 1.1

Wykaż, że liczba

    \[(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{8}+\sqrt{12})+(1-\sqrt{2})^{2}+2(\sqrt{2}+1)\]

jest naturalna.

Rozwiązanie:

    \begin{align*} &(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{8}+\sqrt{12})+(1-\sqrt{2})^{2}+2(\sqrt{2}+1)\\ &\qquad=(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{4\cdot 2}+\sqrt{4\cdot 3})+1-2\sqrt{2}+2+2\sqrt{2}+2\\ &\qquad=(\sqrt{3}-\sqrt{2})(2\sqrt{2}+2\sqrt{3})+5\\ &\qquad=2(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})+5\\ &\qquad=2\left((\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2\right)+5\\ &\qquad=2\cdot(3-2)+5=7\;,\; 7\in\mathbb{N}.\\ \end{align*}

 

Zadanie 1.2

Oblicz (xyz)^{\frac{1}{5}}, jeśli \log x=10, \log_{5}y=-5, z=100000.

Zadanie 1.3

Przedstaw liczbę

    \[\frac{9^{2}\cdot 27^{-3}\cdot 81^{4}}{243^{\frac{5}{4}}\cdot 81^{-\frac{4}{3}}\cdot 729^{\frac{1}{2}}}\]

w postaci potęgi o podstawie 3.

Zadanie 1.4

Oblicz

    \[\frac{2015\cdot 2016\cdot 2017+1}{2015\cdot(2015^{2}+3\cdot 2015+2)+1}.\]

Rozwiązanie:

Niech a=2015, wtedy

    \begin{align*} 2016&=a+1,\\ 2017&=a+2. \end{align*}

Zatem

    \[\frac{a(a+1)(a+2)+1}{a(a^{2}+3a+2)+1}=\frac{a(a^{2}+3a+2)+1}{a(a^{2}+3a+2)+1}=1.\]

Zadanie 1.5

Oblicz

    \[\frac{2}{2-\sqrt{3}}+\frac{3}{\sqrt{3}+2}-\frac{4}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}.\]

Zadanie 1.6

Wykaż, że różnica kwadratu liczby całkowitej nieparzystej i liczby 25 jest podzielna przez 4.

Zadanie 1.7

Dane są liczby p=\sqrt{2},q=\sqrt{3}. Oblicz

    \[\frac{\frac{p}{q}-1}{\frac{q}{p}+1}.\]

Wynik przedstaw w postaci m+n\sqrt{6}, gdzie m,n są liczbami wymiernymi.

Zadanie 1.8

Udowodnij, że liczba 17^n+17^{n+2}+17^{n+4} dla n=1,2,\ldots jest podzielna przez 3991.

Zadanie 1.9

Samochód kosztował 75000 złotych i co roku tracił 15\% swojej aktualnej wartości. Wyznacz wartość pojazdu po 5 latach.

Zadanie 1.10

Porównaj liczby

    \begin{align*} a&=0,(9)+\frac{2}{3},\\ b&=\frac{7}{9}+0,(8),\\ c&=0,(5)+\frac{10}{9}.\\ \end{align*}

 

Powtórki przedmaturalne

Do matury 2017 pozostało…

    \[10\cdot\left(\sqrt{11}-1\right)\left(\sqrt{11}+1\right)\cdot\left[\left(3-5^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}-\left(3+5^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}\right]^{2}+\sqrt{1521}\]

…dni.

Powinieneś choć trochę 😉 opanować:

  1. Liczby rzeczywiste
  2. Wyrażenia algebraiczne
  3. Równania i nierówności
  4. Funkcje
  5. Ciągi
  6. Trygonometria
  7. Planimetria
  8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej
  9. Stereometria
  10. Elementy statystyki opisowej, teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka

Zadanie 0

Oblicz:

    \[\left(2^{0}+2^{1}+2^{2}+2^{1}+2^{0}\right)^{\frac{2^{0}+2^{1}+2^{0}}{2^{1}}},\]

gdzie wynik jest łączną liczbą zadań w powtórkach przedmaturalnych.

,,rachunki”

,,W tym miejscu chcę napisać parę uwag na temat biegłości rachunkowej. Uważam ją za bardzo ważny element wykształcenia matematycznego”   (prof. Wojciech Guzicki). 

Zadanie 1

Oblicz

    \[\frac{\sqrt{5-2\sqrt{6}}}{(\sqrt[4]{3}+\sqrt[4]{2})(\sqrt[4]{3}-\sqrt[4]{2})}.\]

Rozwiązanie:

Zauważmy, że 5-2\sqrt{6}=5-2\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}=\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^2.

    \begin{align*} \frac{\sqrt{5-2\sqrt{6}}}{(\sqrt[4]{3}+\sqrt[4]{2})(\sqrt[4]{3}-\sqrt[4]{2})}&=\frac{\sqrt{\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^{2}}}{\left(\sqrt[4]{3}\right)^{2}-\left(\sqrt[4]{2}\right)^{2}}=\frac{|\sqrt{3}-\sqrt{2}|}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\mathbf{1}. \end{align*}


Zadanie 2

Oblicz

    \[\sqrt{2+\sqrt{3}}\cdot\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}\cdot\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}\cdot\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}.\]

Rozwiązanie:

W rozwiązaniu wykorzystamy wzór na różnicę kwadratów

    \[a^2-b^2=(a-b)(a+b),\quad a,b\in\mathbb{R}\]

oraz

    \[\sqrt{cd}=\sqrt{c}\cdot\sqrt{d},\quad c,d\geq 0.\]

Niech x=\sqrt{2+\sqrt{3}}

    \begin{align*} x\cdot\sqrt{2+x}&\cdot\sqrt{2+\sqrt{2+x}}\cdot\sqrt{2-\sqrt{2+x}}\\&=x\sqrt{2+x}\cdot\sqrt{\left(2+\sqrt{2+x}\right)\left(2-\sqrt{2+x}\right)}\\ &=x\sqrt{2+x}\cdot\sqrt{2^{2}-\left(\sqrt{2+x}\right)^{2}}\\ &=x\sqrt{(2+x)(2-x)}\\ &=x\sqrt{4-x^2}. \end{align*}

 

Zatem

    \begin{align*} \sqrt{2+\sqrt{3}}\cdot\sqrt{4-\left(\sqrt{2+\sqrt{3}}\right)^2}&=\sqrt{2+\sqrt{3}}\cdot\sqrt{4-(2+\sqrt{3})}\\ &=\sqrt{2+\sqrt{3}}\sqrt{2-\sqrt{3}}\\ &=\sqrt{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}\\ &=\sqrt{2^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}\\ &=\sqrt{4-3}\\ &=\mathbf{1}. \end{align*}


Zadanie 3

Oblicz:

    \[\frac{\sqrt{3-2\sqrt{2}}}{\sqrt{17-12\sqrt{2}}}-\frac{\sqrt{3+2\sqrt{2}}}{\sqrt{17+12\sqrt{2}}}.\]

Rozwiązanie:

Zauważmy, że

    \[17-12\sqrt{2}=9-2\cdot 3\cdot 2\sqrt{2}+8=3^2-2\cdot 3\cdot 2\sqrt{2}+(2\sqrt{2})^2=(3-2\sqrt{2})^2.\]

Analogicznie 17+12\sqrt{2}=(3+2\sqrt{2})^2.

Ponadto

    \begin{align*} 3-2\sqrt{2}&=(1-\sqrt{2})^{2},\\ 3+2\sqrt{2}&=(1+\sqrt{2})^{2}. \end{align*}

Zatem

    \begin{align*} \frac{\sqrt{3-2\sqrt{2}}}{\sqrt{17-12\sqrt{2}}}-\frac{\sqrt{3+2\sqrt{2}}}{\sqrt{17+12\sqrt{2}}}&=\frac{\sqrt{\left(1-\sqrt{2}\right)^2}}{\sqrt{\left(3-2\sqrt{2}\right)^2}}-\frac{\sqrt{\left(1+\sqrt{2}}\right)^2}{\sqrt{\left(3+2\sqrt{2}\right)^2}}\\ &=\frac{|1-\sqrt{2}|}{|3-2\sqrt{2}|}-\frac{|1+\sqrt{2}|}{|3+2\sqrt{2}|}.\\ \end{align*}

Korzystając z definicji wartości bezwzględnej, otrzymujemy

    \begin{align*} \frac{-(1-\sqrt{2})}{3-2\sqrt{2}}-\frac{1+\sqrt{2}}{3+2\sqrt{2}}&=-\frac{1-\sqrt{2}}{(1-\sqrt{2})^2}-\frac{1+\sqrt{2}}{(1+\sqrt{2})^2}\\ &=-\frac{1}{1-\sqrt{2}}-\frac{1}{1+\sqrt{2}}\\ &=-\frac{1+\sqrt{2}}{(1-\sqrt{2})(1+\sqrt{2})}-\frac{1-\sqrt{2}}{(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})}\\ &=-\frac{1+\sqrt{2}}{1-(\sqrt{2})^2}-\frac{1-\sqrt{2}}{1-(\sqrt{2})^2}\\ &=-\frac{1+\sqrt{2}}{-1}-\frac{1-\sqrt{2}}{-1}\\ &=1+\sqrt{2}+1-\sqrt{2}\\ &=\mathbf{2}. \end{align*}