Szach-math

3. Równania i nierówności

Zadanie 3.1

Rozwiąż równanie

    \[(x-\sqrt{2})(5x+5\sqrt{2})=5(x-3)^{2}+30x.\]

Zadanie 3.2

Wyznacz wszystkie liczby pierwsze spełniające nierówność

    \[(x-2)^{2}\leq 15x-30.\]

Zadanie 3.3

Udowodnij, że nierówność

    \[x^{4}+x^{8}(x-1)^{4}+x^{12}(x+1)^{4}\geq -1\]

jest spełniona dla wszystkich liczb rzeczywistych x.

Zadanie 3.4

Wykaż, że liczba 5^{35} jest jedynym rozwiązaniem równania

    \[129x+3125^{7}=25^{19}+5^{36}.\]

Rozwiązanie:

Przekształcając równoważnie powyższe równanie, otrzymujemy:

    \begin{align*} 129x+(5^{5})^{7}&=(5^{2})^{19}+5^{36}\\ 129x+5^{35}&=5^{38}+5^{36}\\ 129x&=5^{38}+5^{36}-5^{35}\\ 129x&=5^{35}(5^{3}+5-1)\\ 129x&=5^{35}(125+4)\\ 129x&=129\cdot 5^{35}\\ x&=5^{35}\\ \end{align*}

Co kończy dowód.

Zadanie 3.5

Wyznacz zbiór rozwiązań nierówności

    \[(|x|+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})<1+\sqrt{5}.\]

Zadanie 3.6

Rozwiąż równanie z niewiadomą x

    \[\frac{1}{a+1}+\frac{1}{x+1}=\frac{1}{a}+1.\]

Zadanie 3.7

Sprawdź, czy liczba 4 jest rozwiązaniem równania

    \[x^{\log_{2}x}+16x^{-\log_{2}x}-17=0.\]

Rozwiązanie:

Dla x=4, otrzymujemy

    \begin{align*} 4^{\log_{2}4}+16\cdot 4^{-\log_{2}4}-17&=4^{2}+16\cdot 4^{-2}-17=16+4^{2}\cdot 4^{-2}-17=0. \end{align*}

Zatem x=4 jest rozwiązaniem powyższego równania.

Zadanie 3.8

Wyznacz \alpha z równania

    \[(\alpha+\beta)\gamma+(\beta+\gamma)\alpha=\alpha\beta\gamma.\]

Zadanie 3.9

Rozwiąż równanie

    \[(x^{3}-x^{2})(x^{4}-16)^{2}(x^{2}+4)^{4}=0.\]

Zadanie 3.10

Wyznacz k, jeśli liczba \sqrt{2} jest rozwiązaniem równania

    \[(2k-1)x^{4}-kx^{2}=1-kx.\]

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *

0 komentarze dla “3. Równania i nierówności”