Szach-math

2. Wyrażenia algebraiczne

Zadanie 2.1

Przedstaw wyrażenie w najprostszej postaci

    \[\left(\frac{x-1}{x^{2}}\right)^{-1}+(1-x)^{-1}.\]

Zadanie 2.2

Udowodnij, że jeżeli a^{2}+3=\frac{1}{2}(a+\sqrt{3})^{2}, to a=\sqrt{3}.

Rozwiązanie:

Przekształcając równoważnie równanie z założenia, otrzymujemy:

    \begin{align*} 2a^{2}+6&=(a+\sqrt{3})^{2}\\ 2a^{2}+6&=a^{2}+2a\sqrt{3}+3\\ a^{2}-2a\sqrt{3}+3&=0\\ (a-\sqrt{3})^{2}&=0\\ a&=\sqrt{3}. \end{align*}

Co kończy dowód.

Zadanie 2.3

Uprość wyrażenie

    \[\frac{\frac{m+n}{\sqrt{m}-\sqrt{n}}-\frac{m-n}{\sqrt{m}+\sqrt{n}}}{\frac{\sqrt{m}-\sqrt{n}}{m+n}+\frac{\sqrt{m}+\sqrt{n}}{m-n}}.\]

Zadanie 2.4

Wykaż, że dla x>0, y>0, zachodzi nierówność

    \[\frac{x+y}{2}\geq\sqrt{xy}.\]

Zadanie 2.5

Wyznacz wartość ułamka \frac{x+y}{x-y}, jeśli x^{2}+y^{2}=\frac{5}{2}xy oraz y>x>0.

Zadanie 2.6

Zapisz wyrażenie w najprostszej postaci oraz oblicz jego wartość dla z=\sqrt{3}

    \[(z+\sqrt{3})^{4}-(z-\sqrt{3})^{4}.\]

Zadanie 2.7

Wykaż, że jeżeli x>0, to

    \[\frac{x^{2}+1}{x+1}\geq\frac{x+1}{2}.\]

Zadanie 2.8

Uprość wyrażenie

    \[\frac{1}{\sqrt{x^{2}+4x+4}}+x-2.\]

Zadanie 2.9

Wykaż, że jeżeli k>0, l>0, to

    \[k^{3}+\frac{l^{2}}{k^{3}}\geq 2l.\]

Rozwiązanie:

Przekształcając równoważnie powyższą nierówność, otrzymujemy

    \begin{align*} k^{6}+l^{2}&\geq 2k^{3}l\\ k^{6}-2k^{3}l+l^{2}&\geq 0\\ (k^{3}-l)^{2}&\geq 0. \end{align*}

Co kończy dowód (,,kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny”).

Zadanie 2.10

Uzasadnij, że jeśli liczby rzeczywiste \alpha, \beta, \gamma spełniają nierówność 0<\alpha<\beta<\gamma, to

    \[\alpha+\beta+\gamma>\frac{3}{2}(\alpha+\beta).\]

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *

0 komentarze dla “2. Wyrażenia algebraiczne”