Szach-math

1. Liczby rzeczywiste

Zadanie 1.1

Wykaż, że liczba

    \[(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{8}+\sqrt{12})+(1-\sqrt{2})^{2}+2(\sqrt{2}+1)\]

jest naturalna.

Rozwiązanie:

    \begin{align*} &(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{8}+\sqrt{12})+(1-\sqrt{2})^{2}+2(\sqrt{2}+1)\\ &\qquad=(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{4\cdot 2}+\sqrt{4\cdot 3})+1-2\sqrt{2}+2+2\sqrt{2}+2\\ &\qquad=(\sqrt{3}-\sqrt{2})(2\sqrt{2}+2\sqrt{3})+5\\ &\qquad=2(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})+5\\ &\qquad=2\left((\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2\right)+5\\ &\qquad=2\cdot(3-2)+5=7\;,\; 7\in\mathbb{N}.\\ \end{align*}

 

Zadanie 1.2

Oblicz (xyz)^{\frac{1}{5}}, jeśli \log x=10, \log_{5}y=-5, z=100000.

Zadanie 1.3

Przedstaw liczbę

    \[\frac{9^{2}\cdot 27^{-3}\cdot 81^{4}}{243^{\frac{5}{4}}\cdot 81^{-\frac{4}{3}}\cdot 729^{\frac{1}{2}}}\]

w postaci potęgi o podstawie 3.

Zadanie 1.4

Oblicz

    \[\frac{2015\cdot 2016\cdot 2017+1}{2015\cdot(2015^{2}+3\cdot 2015+2)+1}.\]

Rozwiązanie:

Niech a=2015, wtedy

    \begin{align*} 2016&=a+1,\\ 2017&=a+2. \end{align*}

Zatem

    \[\frac{a(a+1)(a+2)+1}{a(a^{2}+3a+2)+1}=\frac{a(a^{2}+3a+2)+1}{a(a^{2}+3a+2)+1}=1.\]

Zadanie 1.5

Oblicz

    \[\frac{2}{2-\sqrt{3}}+\frac{3}{\sqrt{3}+2}-\frac{4}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}.\]

Zadanie 1.6

Wykaż, że różnica kwadratu liczby całkowitej nieparzystej i liczby 25 jest podzielna przez 4.

Zadanie 1.7

Dane są liczby p=\sqrt{2},q=\sqrt{3}. Oblicz

    \[\frac{\frac{p}{q}-1}{\frac{q}{p}+1}.\]

Wynik przedstaw w postaci m+n\sqrt{6}, gdzie m,n są liczbami wymiernymi.

Zadanie 1.8

Udowodnij, że liczba 17^n+17^{n+2}+17^{n+4} dla n=1,2,\ldots jest podzielna przez 3991.

Zadanie 1.9

Samochód kosztował 75000 złotych i co roku tracił 15\% swojej aktualnej wartości. Wyznacz wartość pojazdu po 5 latach.

Zadanie 1.10

Porównaj liczby

    \begin{align*} a&=0,(9)+\frac{2}{3},\\ b&=\frac{7}{9}+0,(8),\\ c&=0,(5)+\frac{10}{9}.\\ \end{align*}

 

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *

0 komentarze dla “1. Liczby rzeczywiste”