Szach-math

Szkolna Liga Zadaniowa

Konkurs przeznaczony jest dla uczniów II Liceum Ogólnokształcącego w Poznaniu.

I etap

W etapie tym uczniowie otrzymają zestaw składający się z siedmiu zadań.

Za każde zadanie można zdobyć:

  • 3pkt – za pełne rozwiąznie;
  • 2pkt – za rozwiązanie zawierające drobne usterki;
  • 1pkt – za połowę zadania.

Terminy dostarczania rozwiązań są następujące:

  • zadanie 1 – do 30 września 2016r.
  • zadanie 2 – do 15 października 2016r.
  • zadanie 3 – do 30 października 2016r.
  • zadanie 4 – do 10 listopada 2016r.
  • zadanie 5 – do 20 listopada 2016r.
  • zadanie 6 – do 30 listopada 2016r.
  • zadanie 7 – do 10 grudnia 2016r.

Rozwiązania należy przesłać na adres adrian@szachmath.pl lub osobiście dostarczyć do administratora bloga.

Wyniki będą publikowane na bieżąco na stronie szkoły.


Zadanie 1

Która z liczb jest większa:

    \[3^{100}-2^{150}\quad\text{czy}\quad 3^{50}+2^{75}?\]

Odpowiedź uzasadnij.

Zadanie 2

Udowodnij, że

    \[\frac{k^{2}(k^{2}-3)+1}{k^{4}-k^{2}-2k-1},\]

dla k=3,4,5,\ldots jest ułamkiem właściwym.

Zadanie 3

Wykaż, że jeżeli \textrm{tg}^{2}\alpha jest liczbą wymierną, to \cos^{2}\alpha jest również liczbą wymierną.

Zadanie 4

Rozwiąż równanie dla x>0

    \[\frac{1}{x+\frac{1}{x^2+\frac{1}{x^{3}+\frac{1}{x^{4}}}}}=\frac{1}{1+\frac{1}{x^{3}+\frac{1}{x^{2}+\frac{1}{x^{5}}}}}-\frac{1}{x^{2}+\frac{1}{x+\frac{1}{x^{4}+\frac{1}{x^{3}}}}}.\]

Zadanie 5

Wyznacz wszystkie funkcje g:\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}\rightarrow\mathbb{R} spełniające równanie

    \[g\left(\frac{x-3}{x+1}\right)+g\left(\frac{3+x}{1-x}\right)=x.\]

Zadanie 6

Niech A będzie polem trójkąta równoramiennego, którego ramię ma długość a i kąt przy wierzchołku ma miarę 10^{\circ}. Udowodnij, że

    \[\left(\frac{4A}{a^{2}}\right)^{2}+\frac{a^{2}}{4A}=3.\]

Zadanie 7

Oblicz sumę

    \[1+2\cdot 3+3\cdot 7+\ldots+n\cdot(2^{n}-1),\quad n=1,2,3,\ldots\]


Awans do 2. etapu uzyska najlepszych dziesięciu uczniów.

Ranking zostanie ustalony na podstawie punktów zdobytych za powyższe zadania.

W przypadku tej samej liczby punktów (dwóch lub większej ilości uczniów), o wyższym miejscu decydują następujące kryteria:

  1. większa liczba pełnych rozwiązań, tzn. większa liczba ,,3″;
  2. większa liczba ,,2″;
  3. wiek uczestnika, tzn. młodszy uczeń zostanie sklasyfikowany na wyższym miejscu.

II etap – półfinał

W etapie tym dziesięciu uczniów przez 45 minut będzie rozwiązywało 4 zadania  (punktacja jak w I etapie).

Pięciu uczniów z najlepszym wynikiem awansuje do finału.

W przypadku tej samej liczby punktów (dwóch lub większej ilości uczniów), o wyższym miejscu decydują następujące kryteria:

  1. większa liczba pełnych rozwiązań w półfinale, tzn. większa liczba ,,3″;
  2. większa liczba ,,2″ (w półfinale);
  3. wynik 1. etapu;
  4. wiek uczestnika, tzn. młodszy uczeń zostanie sklasyfikowany na wyższym miejscu.

Termin półfinału zostanie podany później.

III etap – finał

W finale, podobnie jak w poprzednim etapie, pięciu uczniów przez 45 minut będzie rozwiązywało 4 zadania (punktacja jak w I etapie).

Uczeń z największą liczbą zdobytych punktów zostanie zwycięzcą 1. edycji Szkolnej Ligi Zadaniowej II LO w Poznaniu. Dla finalistów przewidziane są nagrody rzeczowe.

W przypadku tej samej liczby punktów (dwóch lub większej ilości uczniów), o wyższym miejscu decydują następujące kryteria:

  1. większa liczba pełnych rozwiązań w finale, tzn. większa liczba ,,3″;
  2. większa liczba ,,2″ (w finale);
  3. wynik 2. etapu;
  4. wynik 1. etapu;
  5. wiek uczestnika, tzn. młodszy uczeń zostanie sklasyfikowany na wyższym miejscu.

Termin finału zostanie podany później.

 

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *

0 komentarze dla “Szkolna Liga Zadaniowa”