Ciąg Fibonacciego
W 1202 roku Leonardo z Pizy, znany jako Fibonacci, opublikował Liber abbaci (,,Księga rachunków”).
Jedno z zadań zamieszczonych w tej księdze brzmi:
,,Ile par królików będziemy mieli na końcu roku, jeśli zaczniemy w styczniu z jedną parą królików, ta w każdym miesiącu, począwszy od marca, wyda na świat kolejną parę królików i z każdej pary urodzą się kolejne pary po dwóch miesiącach od narodzin?”
Rozwiązanie powyższego problemu, zostało przedstawione przez Fibonacciego w tabeli.

Dla uproszczenia kolejne miesiące zostały oznaczone: I, II, III, …
Natomiast oznacza
-te pokolenie.
Zauważmy, że w kolumnie suma każda liczba jest sumą dwóch poprzednich.
Liczby te tworzą tzw. ciąg Fibonacciego.
Niech oznacza
-ty wyraz ciągu Fibonacciego (
).
Zatem ciąg ten możemy zapisać ogólnie w następujący sposób:
W poprzednim wpisie dotyczącym Liczby złotej, wspomniałem o związku między liczbą tą, a ciągiem Fibonacciego.
Wypiszmy kilka kolejnych wyrazów ciągu , rozpoczynając od drugiego.
Podzielmy teraz kolejny wyraz ciągu przez poprzedni, tzn.
Przypominam, że liczba złota
Zauważmy, że
Zatem iloraz dowolnego wyrazu ciągu Fibonacciego przez wyraz go poprzedzający, jest pewnym przybliżeniem liczby złotej.
Liczba złota jest rozwiązaniem równania kwadratowego
czyli
lub
(1)
Pomnóżmy obustronnie równanie (1) przez
(2)
Po podstawieniu równania (1) do (2), otrzymujemy
Postępując analogicznie
Zatem związek pomiędzy naturalną potęgą liczby złotej, a ciągiem Fibonacciego możemy zapisać następująco
Powyższe równanie można udowodnić za pomocą indukcji matematycznej.
Liczby ciągu Fibonacciego pojawiają się także w świecie organizmów żywych np. u roślin. Wiele gatunków kwiatów ma liczbę płatków odpowiadającą liczbom z ciągu Fibonacciego:
- lilie – 3 płatki;
- jaskry – 5 płatków;
- ostróżki – 8;
- nagietki – 13;
- astry – 21;
- większość stokrotek – 34, 55 lub 89;
- słoneczniki – 55, 89 lub 144 płatki.
W przypadku innych kwiatów spotkać można podwojone liczby z ciągu Fibonacciego lub ich kwadraty.
0 komentarze dla “Ciąg Fibonacciego”