Szach-math

Ciąg Fibonacciego

W 1202 roku Leonardo z Pizy, znany jako Fibonacci, opublikował Liber abbaci  (,,Księga rachunków”).

Jedno z zadań zamieszczonych w tej księdze brzmi:

,,Ile par królików będziemy mieli na końcu roku, jeśli zaczniemy w styczniu z jedną parą królików, ta w każdym miesiącu, począwszy od marca, wyda na świat kolejną parę królików i z każdej pary urodzą się kolejne pary po dwóch miesiącach od narodzin?”

Rozwiązanie powyższego problemu, zostało przedstawione przez Fibonacciego w tabeli.

Rendered by QuickLaTeX.com

Dla uproszczenia kolejne miesiące zostały oznaczone: I, II, III, 
Natomiast p_{i},i=1,2,3,4,5,6 oznacza i-te pokolenie.

Zauważmy, że w kolumnie suma każda liczba jest sumą dwóch poprzednich.

Liczby te tworzą tzw. ciąg Fibonacciego.

Niech F_{n} oznacza n-ty wyraz ciągu Fibonacciego (n=1, 2, 3, \ldots).
Zatem ciąg ten możemy zapisać ogólnie w następujący sposób:

    \[\begin{cases} F_{1}=F_{2}=1\\ F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2},\quad n=3, 4, 5, \ldots \end{cases}\]

W poprzednim wpisie dotyczącym Liczby złotej, wspomniałem o  związku między liczbą tą, a ciągiem Fibonacciego.

Wypiszmy kilka kolejnych wyrazów ciągu (F_{n}), rozpoczynając od drugiego.

    \begin{align*} F_{2}&=1\\ F_{3}&=2\\ F_{4}&=3\\ F_{5}&=5\\ F_{6}&=8\\ F_{7}&=13\\ F_{8}&=21\\ &\ldots \end{align*}

Podzielmy teraz kolejny wyraz ciągu przez poprzedni, tzn.

    \begin{align*} \frac{F_{3}}{F_{2}}&=2\\ \frac{F_{4}}{F_{3}}&=1,5\\ \frac{F_{5}}{F_{4}}&=1,(6)\\ \frac{F_{6}}{F_{5}}&=1,6\\ \frac{F_{7}}{F_{6}}&=1,625\\ \frac{F_{8}}{F_{7}}&=1,615384615384615\\ &\ldots\\ \frac{F_{20}}{F_{19}}&=\frac{6765}{4181}=1,6180339631667067\\ &\ldots\\ \end{align*}

Przypominam, że liczba złota \phi=1,61803398874989484\ldots

Zauważmy, że 

    \[\phi-\frac{F_{20}}{F_{19}}=-0,000000025583188.\]

Zatem iloraz dowolnego wyrazu ciągu Fibonacciego przez wyraz go poprzedzający, jest pewnym przybliżeniem liczby złotej.


Liczba złota \phi jest rozwiązaniem równania kwadratowego

    \[x^{2}-x-1=0,\]

czyli

    \[\phi^2-\phi-1=0\]

lub

(1)   \[\phi^2=\phi+1.\]

Pomnóżmy obustronnie równanie (1) przez \phi

(2)   \[\phi^3=\phi^2+\phi\]

Po podstawieniu równania (1) do (2), otrzymujemy

    \[\phi^3=\phi^2+\phi=\phi+1+\phi=2\phi+1.\]

Postępując analogicznie

    \begin{align*} \phi^{4}&=\phi^{3}+\phi^{2}=2\phi+1+\phi+1=3\phi+2\\ \phi^{5}&=\phi^{4}+\phi^{3}=5\phi+3\\ \phi^{6}&=8\phi+5\\ \phi^{7}&=13\phi+8\\ &\ldots \end{align*}

Zatem związek pomiędzy naturalną potęgą liczby złotej, a ciągiem Fibonacciego (F_{n}) możemy zapisać następująco

    \[\phi^n=F_{n}\phi+F_{n-1},\quad n=2,3,4,\ldots\]

Powyższe równanie można udowodnić za pomocą indukcji matematycznej.


Liczby ciągu Fibonacciego pojawiają się także w świecie organizmów żywych np. u roślin. Wiele gatunków kwiatów ma liczbę płatków odpowiadającą liczbom z ciągu Fibonacciego:

  • lilie – 3 płatki;
  • jaskry – 5 płatków;
  • ostróżki – 8;
  • nagietki – 13;
  • astry – 21;
  • większość stokrotek – 34, 55 lub 89;
  • słoneczniki – 55, 89 lub 144 płatki.

W przypadku innych kwiatów spotkać można podwojone liczby z ciągu Fibonacciego lub ich kwadraty.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *

0 komentarze dla “Ciąg Fibonacciego”