Szach-math

Złota liczba

W VI księdze Elementów Euklidesa, znajduje się następujący tekst:

,,Powiemy, że linia prosta została podzielona harmonicznie, gdy większy odcinek ma się tak do mniejszego, jak całość do większego”.

Inaczej (krócej):

,,Całość ma się tak do większej części, jak większa do mniejszej”. 

Wprowadźmy zatem następujące oznaczenia:

  • xwiększa część;
  • ymniejsza część.

Zauważmy zatem, że całość, to x+y.

Ponadto x>0, y>0.

Zapisując odpowiednie równanie, otrzymujemy

(1)   \[\frac{x+y}{x}=\frac{x}{y}.\]

Przekształcając równoważnie możemy zapisać

    \begin{align*} 1+\frac{y}{x}&=\frac{x}{y},\\ 1+\left(\frac{x}{y}\right)^{-1}&=\frac{x}{y}.\\ \end{align*}

Podstawiając k=\frac{x}{y}, otrzymujemy

    \[1+k^{-1}=k.\]

Zatem

    \begin{align*} 1+\frac{1}{k}&=k\\ k+1&=k^{2}\\ k^{2}-k-1&=0. \end{align*}

 

Ponieważ k>0, zatem jedynym rozwiązaniem powyższego równania jest \frac{1+\sqrt{5}}{2}.

    \[\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=1,61803398874989\ldots\]

Liczba ta jest nazywana liczbą złotą i oznaczana przez \phi.  Natomiast równanie (1), zostało nazwane złotą proporcją lub boską proporcją.

Liczba złota jest ściśle związana z tzw. ciągiem Fibonacciego, który zostanie przedstawiony w kolejnym wpisie.

 

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *

0 komentarze dla “Złota liczba”