Szach-math

,,rachunki”

,,W tym miejscu chcę napisać parę uwag na temat biegłości rachunkowej. Uważam ją za bardzo ważny element wykształcenia matematycznego”   (prof. Wojciech Guzicki). 

Zadanie 1

Oblicz

    \[\frac{\sqrt{5-2\sqrt{6}}}{(\sqrt[4]{3}+\sqrt[4]{2})(\sqrt[4]{3}-\sqrt[4]{2})}.\]

Rozwiązanie:

Zauważmy, że 5-2\sqrt{6}=5-2\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}=\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^2.

    \begin{align*} \frac{\sqrt{5-2\sqrt{6}}}{(\sqrt[4]{3}+\sqrt[4]{2})(\sqrt[4]{3}-\sqrt[4]{2})}&=\frac{\sqrt{\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^{2}}}{\left(\sqrt[4]{3}\right)^{2}-\left(\sqrt[4]{2}\right)^{2}}=\frac{|\sqrt{3}-\sqrt{2}|}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\mathbf{1}. \end{align*}


Zadanie 2

Oblicz

    \[\sqrt{2+\sqrt{3}}\cdot\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}\cdot\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}\cdot\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}.\]

Rozwiązanie:

W rozwiązaniu wykorzystamy wzór na różnicę kwadratów

    \[a^2-b^2=(a-b)(a+b),\quad a,b\in\mathbb{R}\]

oraz

    \[\sqrt{cd}=\sqrt{c}\cdot\sqrt{d},\quad c,d\geq 0.\]

Niech x=\sqrt{2+\sqrt{3}}

    \begin{align*} x\cdot\sqrt{2+x}&\cdot\sqrt{2+\sqrt{2+x}}\cdot\sqrt{2-\sqrt{2+x}}\\&=x\sqrt{2+x}\cdot\sqrt{\left(2+\sqrt{2+x}\right)\left(2-\sqrt{2+x}\right)}\\ &=x\sqrt{2+x}\cdot\sqrt{2^{2}-\left(\sqrt{2+x}\right)^{2}}\\ &=x\sqrt{(2+x)(2-x)}\\ &=x\sqrt{4-x^2}. \end{align*}

 

Zatem

    \begin{align*} \sqrt{2+\sqrt{3}}\cdot\sqrt{4-\left(\sqrt{2+\sqrt{3}}\right)^2}&=\sqrt{2+\sqrt{3}}\cdot\sqrt{4-(2+\sqrt{3})}\\ &=\sqrt{2+\sqrt{3}}\sqrt{2-\sqrt{3}}\\ &=\sqrt{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}\\ &=\sqrt{2^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}\\ &=\sqrt{4-3}\\ &=\mathbf{1}. \end{align*}


Zadanie 3

Oblicz:

    \[\frac{\sqrt{3-2\sqrt{2}}}{\sqrt{17-12\sqrt{2}}}-\frac{\sqrt{3+2\sqrt{2}}}{\sqrt{17+12\sqrt{2}}}.\]

Rozwiązanie:

Zauważmy, że

    \[17-12\sqrt{2}=9-2\cdot 3\cdot 2\sqrt{2}+8=3^2-2\cdot 3\cdot 2\sqrt{2}+(2\sqrt{2})^2=(3-2\sqrt{2})^2.\]

Analogicznie 17+12\sqrt{2}=(3+2\sqrt{2})^2.

Ponadto

    \begin{align*} 3-2\sqrt{2}&=(1-\sqrt{2})^{2},\\ 3+2\sqrt{2}&=(1+\sqrt{2})^{2}. \end{align*}

Zatem

    \begin{align*} \frac{\sqrt{3-2\sqrt{2}}}{\sqrt{17-12\sqrt{2}}}-\frac{\sqrt{3+2\sqrt{2}}}{\sqrt{17+12\sqrt{2}}}&=\frac{\sqrt{\left(1-\sqrt{2}\right)^2}}{\sqrt{\left(3-2\sqrt{2}\right)^2}}-\frac{\sqrt{\left(1+\sqrt{2}}\right)^2}{\sqrt{\left(3+2\sqrt{2}\right)^2}}\\ &=\frac{|1-\sqrt{2}|}{|3-2\sqrt{2}|}-\frac{|1+\sqrt{2}|}{|3+2\sqrt{2}|}.\\ \end{align*}

Korzystając z definicji wartości bezwzględnej, otrzymujemy

    \begin{align*} \frac{-(1-\sqrt{2})}{3-2\sqrt{2}}-\frac{1+\sqrt{2}}{3+2\sqrt{2}}&=-\frac{1-\sqrt{2}}{(1-\sqrt{2})^2}-\frac{1+\sqrt{2}}{(1+\sqrt{2})^2}\\ &=-\frac{1}{1-\sqrt{2}}-\frac{1}{1+\sqrt{2}}\\ &=-\frac{1+\sqrt{2}}{(1-\sqrt{2})(1+\sqrt{2})}-\frac{1-\sqrt{2}}{(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})}\\ &=-\frac{1+\sqrt{2}}{1-(\sqrt{2})^2}-\frac{1-\sqrt{2}}{1-(\sqrt{2})^2}\\ &=-\frac{1+\sqrt{2}}{-1}-\frac{1-\sqrt{2}}{-1}\\ &=1+\sqrt{2}+1-\sqrt{2}\\ &=\mathbf{2}. \end{align*}


 


Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *

0 komentarze dla “,,rachunki””