Szach-math

Winny czy niewinny?

Wprowadźmy następujące zdarzenia:

  • A – oskarżony jest winny;
  • B – oskarżony przyznał się do winy.

Ze wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe, otrzymujemy

(1)   \[P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},\;P(B)>0\]

oraz

(2)   \[P(B|A)=\frac{P(B\cap A)}{P(A)}=\frac{P(A\cap B)}{P(A)},\;P(A)>0.\]

  • P(A|B) oznacza prawdopodobieństwo, że oskarżony jest winny pod warunkiem, że oskarżony przyznał się do winy;
  • P(B|A) oznacza prawdopodobieństwo, że oskarżony przyznał się do winy pod warunkiem, że oskarżony jest winny;
  • P(A\cap B) oznacza prawdopodobieństwo, że oskarżony jest winny i oskarżony przyznał się do winy.

Równanie (1) oraz (2) zapiszmy w równoważnej postaci:

    \begin{align*} P(A\cap B)&=P(B)P(A|B),\\ P(A\cap B)&=P(A)P(B|A). \end{align*}

Przyrównując prawe strony powyższych równań otrzymujemy

    \[P(B)P(A|B)=P(A)P(B|A),\]

czyli

(3)   \[P(A|B)=\frac{P(A)P(B|A)}{P(B)}.\]

Ponadto, z twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym wiemy, że

(4)   \[P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|A')P(A'),\]

  • A' oznacza zdarzenie przeciwne do A, czyli oskarżony jest niewinny.

Podstawiając (4) do (3), otrzymujemy

    \[P(A|B)=\frac{P(A)P(B|A)}{P(B|A)P(A)+P(B|A')P(A')},\]

co jest równoważne

    \[P(A|B)=\frac{P(A)}{P(A)+\frac{P(B|A')}{P(B|A)}P(A')}.\]

Podstawiając P(A')=1-P(A), otrzymujemy ostatecznie

    \[P(A|B)=\frac{P(A)}{P(A)+\frac{P(B|A')}{P(B|A)}(1-P(A))}.\]

Dla uproszczenia przyjmijmy, że

  • P(A)=p;
  • \frac{P(B|A')}{P(B|A)}=r,

(5)   \[P(A|B)=\frac{p}{p+r(1-p)}.\]

Równanie (5) jest nazywane wzorem Matthewsa i zostało wprowadzone przez brytyjskiego fizyka Roberta Matthewsa. W 1995r. uczony ten zauważył, że w pewnych sytuacjach przyznanie się do winy oznacza raczej niewinność niż winę oskarżonego. Odkrycie to nazwał błędem przesłuchującego.

Współczynnik r jest nazywany współczynnikiem przyznania się.


Zauważmy, że

    \[r<1\quad\iff\quad \frac{P(B|A')}{P(B|A)}<1\quad\iff\quad P(B|A')<P(B|A),\]

tzn., że prawdopodobieństwo przyznania się osoby niewinnej jest mniejsze od prawdopodobieństwa przyznania się osoby winnej.

    \[r>1\quad\iff\quad \frac{P(B|A')}{P(B|A)}>1\quad\iff\quad P(B|A')>P(B|A),\]

tzn., że prawdopodobieństwo przyznania się osoby niewinnej jest większe od prawdopodobieństwa przyznania się osoby winnej.

Pytanie: Czy przyznanie się do winy, zwiększa prawdopodobieństwo winy?

Jeśli tak, to

    \[P(A|B)>P(A).\]

Podstawiając równanie (5), otrzymujemy

    \[\frac{p}{p+r(1-p)}>p.\]

Przekształcając równoważnie

    \begin{align*} \frac{p}{p+r(1-p)}&>p\\ \frac{1}{p+r(1-p)}&>1\\ p+r(1-p)&<1\\ r(1-p)&<1-p\\ r&<1\\ P(B|A')&<P(B|A) \end{align*}

Zatem

    \[P(A|B)>P(A)\quad\iff\quad P(B|A')<P(B|A).\]

Wniosek:

prawdopodobieństwo, że osoba winna przyznała się do zarzucanych czynów zwiększy prawdopodobieństwo winy

wtedy i tylko wtedy, gdy

prawdopodobieństwo przyznania się osoby niewinnej jest mniejsze od prawdopodobieństwa przyznania się osoby winnej.

Inspiracją do napisania powyższego tekstu był artykuł ,,Błąd przesłuchującego”, zamieszczony w książce ,,Krowy w labiryncie i inne eksploracje matematyczne” (wydawnictwo Prószyński i S-ka, 2012), autorstwa Iana Stewarta.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *

0 komentarze dla “Winny czy niewinny?”