Szach-math

Dzieci

Pewna rodzina ma dwoje dzieci, a jedno z nich to dziewczynka.

Pytanie: jakie jest prawdopodobieństwo, że drugie dziecko jest dziewczynką?

Załóżmy, że urodzenie córki i syna jest jednakowo prawdopodobne. Ponadto, narodziny kolejnych dzieci są od siebie niezależne.

Wprowadźmy oznaczenia: C – chłopiec, D – dziewczynka.

W przypadku dwojga dzieci otrzymujemy cztery jednakowo prawdopodobne warianty: DD, DC, CD, CC.

Zauważmy, że w trzech przypadkach, w rodzinie jest dziewczynka: DD, DC, CD, a w jednym z nich dwie dziewczynki: DD.

Czyli poszukiwane prawdopodobieństwo wynosi  \frac{1}{3}.

Powyższe pytanie można sformułować inaczej: jakie jest prawdopodobieństwo, że w pewnej rodzinie, w której jest dwoje dzieci, są dwie dziewczynki pod warunkiem, że wśród nich jest jedna dziewczynka?

W tej sytuacji wykorzystamy wzór na prawdopodobieństwo warunkowe:

    \[P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},\quad A,B\subset\Omega,\; P(B)>0.\]

  •   P(A|B) – prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A pod warunkiem, że zaszło zdarzenie B;
  •   P(A\cap B) – prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia AB.

Zatem zdarzenie A oznacza, że w rodzinie są dwie dziewczynki, zdarzenie B, że w rodzinie jest co najmniej jedna dziewczynka. P(A\cap B) należy odczytać jako prawdopodobieństwo tego, że w rodzinie tej są dwie dziewczynki, czyli  \frac{1}{4}.

P(B)=\frac{3}{4}.

Ostatecznie

    \[P(A|B)=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}}=\frac{1}{3}.\]


						

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *

0 komentarze dla “Dzieci”